Колба

Еще одна очаровывающая меня область знаний.

Фрактал

Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.

 (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Fractal_Broccoli.jpg/250px-Fractal_Broccoli.jpg)
Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora)

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:
- Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
- Является самоподобной или приближённо самоподобной.
- Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
- Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Fractal_koch.png/250px-Fractal_koch.png)
Кривая Коха

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке вверху приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:
кривая дракона:
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Drachen_p.png/180px-Drachen_p.png)

кривая Леви:
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Levy_curve_building.png/180px-Levy_curve_building.png)

кривая Минковского:
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/5/5f/Minkowsky01.gif)

кривая Пеано
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Hilbert_curve.png/350px-Hilbert_curve.png)

с помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора:
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Fractal_pifagor_tree.png/180px-Fractal_pifagor_tree.png)

 Множество Мандельброта — классический образец фрактала:
(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/a/a4/Mandelbrot_sequence_new.gif)

Фрактал завораживает, начинаешь ощущать свою связь с космосом: ты во Вселенной, Вселенная в тебе... :)

Ласочка,
Уже и психология оперирует понятием фрактала... :) Интересно будем проследить за развитием єтой теории в будущем. А где практически применяют єти знания?

НесторЪ, Практически? Фрактал позволяет очень экономно создавать графику, я вечером смогу показать подробнее.

Ласочка,
Это интересно, буду ждать... :)

Так, это пока из Википедии:

Применение фракталов

Компьютерная графика
 
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.

Анализ рынков

Последнее время Фракталы стали популярны у «Трейдеров» для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.

Физика и другие естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:
неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:
венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)
«рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я.Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе»)
предисловия, скрывающие авторство (У. Эко «Имя розы»)
Т. Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королём).

В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому:
Х. Л. Борхес «В кругу развалин»
Х. Кортасар «Жёлтый цветок»
Ж. Перек «Кунсткамера»

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И, хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Сжатие изображений
 
Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо изображения можно хранить отображение сжатия, для которого это изображение является неподвижной точкой.

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Еще:

... по сведениям некоторых неофициальных источников, в Сербии Соединенные Штаты впервые испытали системы наведения с фрактальными алгоритмами. Суть их в следующем. Трудно локализовать танк, замаскированный среди ветвей. Трудно, даже когда есть качественный сигнал от теле- или тепловизора. Но есть одна особенность. Очертания искусственных объектов - танков, автомобилей - образованы линиями, описываемыми уравнениями целого порядка. А вот объекты природные - рельеф, деревья - фрактальны, то есть имеют дробную, нецелочисленную размерность. Вот на этом принципе вроде бы и устроены новые системы распознавания образов в контурах слежения за целью. Они "в упор не видят" куст, но хорошо распознают притаившийся за кустом БТР... Маскировочная окраска может помочь, но если она не образована кривыми второго порядка, как обычно. А датчики могут работать многодиапазонно, и скрыть контур цели не удастся! Так что "химеры" Мандельброта нашли вполне конкретное и успешное применение на войне.

Но здесь еще не учтено то, чтор фракталы используются в "саморазворачивающихся программах". Сейчас поищу пример...

НесторЪ, Вот, полюбуйся.
Этот ролик (со всем-всем-всем) весит... 4 кБ(!)
http://www.youtube.com/v/_YWMGuh15nE&hl=ru&fs=1&

Ласочка,
Однако... :) Как там у ПушкинА - О, сколько нам открытий чудных готовит Просвещенья дух (век)....

НесторЪ, А что там с фракталами в психологии, ты упомянул?

Ласочка,
Теория есть, которая основівается на приниципе фракталов...

Если с компьютерной графикой все более-менее понятно, то тема применения принципа фракталов в психологии не ясна совсем. Проясните, если можете. Все-таки психология для большинства людей на много более понятна, чем математика или компьютерная графика.

Ласочка,
Kosmo,
Донченко Е.А. Фрактальная психология (Доглубинные основания индивидуальной и социетальной жизни) К.: Знання, 2005. — 323 с. 
Любая часть, фрагмент универсальной психики называется психофракталом - отдельной  эпиструктурой , или фрагментом сетки, который презентует взаимосвязь всего со всем при помощи полного набора дихотомий.
С позиций фрактальной психологии мировая психика, как и человеческая - это возможность создавать и воссоздавать, структурировать и разрушать при помощи воплощенных (уже структурированных) или не воплощенных (не структурированных или полевых) информационно-энергетических эпиструктур ( гр.эпи - сверх, над).

Здравствуйте.

Вроде бы с теоретическим понятием размерности Хаусдорфа, благодаря этому форуму и книгам Кроновера и Морозова я разобрался. Но вот как практически, численно вычислять эту размерность для меня не ясно. Выше приводятся два примера построенных с использованием IFS, а вот кто ни будь, знает как, имея только графические изображения этих или каких то других множеств найти для них размерность Хаусдорфа?

Ps: Может быть есть что то подобное клеточному и точечному методу вычисления размерности Минковского.

KarpovSergei,
зарисовался!
 :D

Нашла вот такую фрактальную картинку. Хотелось бы знать какие у вас возникают ощущения, когда смотрите на нее. Лично мне кажется, что от нее идет какое-то живое излучение.
(http://pic.ipicture.ru/uploads/090902/57415/7497s65hsn.jpg)

heokka, Меня укачивает  :-X   :-[ :D

heokka,
Красивая картинка... ;)

Всем кто увидит это сообщение  ПРИВЕТ
Люди помогите курсовая горит и пылает  :evil:       
мне нужно знать как  и доля чего используется фрактальные методы в архивации в базах данных
Если кто-то что-то знает и может помочь, пишите

Глянь здесь: http://www.intuit.ru/department/graphics/compression/6/3.html, можно развить эту тему.
И здесь обсуждалось: http://www.sql.ru/forum/actualthread.aspx?tid=667951

Подскажите ХОРОШИЙ скринсейвер?  ;)
(Этой технологии)

С фракталами познакомился, читая "Торговый Хаос" Б.Вильямса. Проникся идеями книги, т.к. начал подмечать в жизни фракталы.

Доброго времени суток. Подскажите пожалуйста, может кто знает источник о фракталах применительно к моделированию рельефа. В частности интересуют фрактальные свойства микрорельефа, полученного после механической обработки (шлифования). Спасибо.